Průměr, medián a modus

Průměr, medián a modus představují míry polohy (lze je nazvat i mírami centrální tendence). Tyto míry nám říkají, kolem jakého čísla se hodnoty nacházejí, neboli, kde je “střed” hodnot. Možná vás napadá otázka, proč jich potřebujeme tolik? Protože každá z nich tento „střed“ popisuje trochu jiným způsobem. Pojďme se na ně blíže podívat:

• Aritmetický průměr je součet všech hodnot v souboru dělený jejich počtem.
• Medián je prostřední hodnota (seřazených hodnot) v souboru.
• Modus je nejčetnější hodnota v souboru.

Z těchto tří charakteristik je aritmetický průměr jediný, ke kterému potřebujeme vzorec. Medián a modus obvykle zvládneme i bez vzorce ?

Aritmetický průměr

Většinou když někdo řekne průměr, myslí tím klasický aritmetický průměr. My se časem dozvíme, že existují i jiné typy průměrů, ale to si řekneme až někdy příště. Aritmetický průměr se používá pouze u číselných proměnných a nejčastěji ho najdeme ve dvou formách, v prostém a váženém tvaru. Pomocí prostého i váženého tvaru dojdeme při správném použití ke stejnému výsledku. Vážený tvar nám většinou šetří čas a to je v dnešní době velmi důležité.

Pojďme si to ukázat na jednoduchém příkladu:

Máme soubor hodnot: 5, 10, 10, 20, 20, 20, 50 a naším úkolem je spočítat průměrnou hodnotu.

Výpočet pomocí prostého aritmetického průměru:

Výpočet pomocí váženého aritmetického průměru:

Nemělo by vás překvapit, že výsledky jsou stejné! Rozdíl je pouze v tom, že vážená forma dokáže zohlednit četnost/váhu jednotlivých hodnot a velmi často usnadní výpočet. Doporučuji ho tedy v případě, kdy hodnoty mají přiřazené váhy a nebo je v souboru více stejných hodnot.

Medián

K výpočtu mediánu není potřeba žádný složitý vzorec. Medián nalezneme tak, že hodnoty v souboru seřadíme (od nejnižší po nejvyšší hodnotu) a najdeme střed. Nalezení prostřední hodnoty se liší v závislosti na tom, zda máme lichý nebo sudý počet hodnot. Pokud pracujete se sudým počtem hodnot, tak medián je průměrem dvou prostředních hodnot. V případě lichého počtu je prostřední hodnota jen jedna.

Pojďme si to opět ukázat na našem příkladu:

Můžeme vidět, že prostřední hodnoty jsou 10 a 20 a medián \widetilde{x} je tedy 15 (\frac{10+20}{2}=15).

Medián se používá převážně u číselných (kvantitativních) proměnných, ale lze ho určit i u proměnných ordinálních. Ordinální proměnné jsou proměnné, které lze seřadit (např. dosažený stupeň vzdělání – ZŠ, SŠ, VŠ). Představme si, že máme následující soubor hodnot: ZŠ, ZŠ, SŠ, SŠ, SŠ, VŠ, VŠ. Máme sedm hodnot a lze vidět, že prostřední hodnota je čtvrtá hodnota a tedy medián je SŠ vzdělání.

Modus

Modus je nejčetnější (nejčastěji se vyskytující) hodnota v souboru. Stačí se tedy podívat na soubor hodnot a určit, která hodnota se zde vyskytuje nejčastěji. Jenže, co když je takových hodnot více, a nebo se v souboru žádná hodnota nevyskytuje vícekrát? I pro takové případy má statistika řešení.

• V souboru není žádná hodnota vícekrát = zpravidla se udává, že modus není, nicméně v některých literaturách lze najít i definici, že mody jsou všechny hodnoty.
• V souboru je jedna nejčetnější hodnota = unimodální rozdělení.
• V souboru jsou dvě nejčetnější hodnoty = bimodální rozdělení.
• V souboru jsou tři nejčetnější hodnoty = trimodální rozdělení.
• V souboru jsou čtyři nebo více nejčetnějších hodnot = multimodální rozdělení.

Pojďme se opět podívat na náš příklad.

V souboru hodnot lze vidět, že hodnota 20 je zde třikrát a tedy představuje mód. Jedná se o unimodální rozdělení a modus \widehat{x} = 20. V případě, že by zde i hodnota 10 byla třikrát, tak by byl \widehat{x}=10 \ a \ 20.

Modus se hodí primárně pro práci s kategoriálními proměnnými, ale lze ho samozřejmě určit i u číselných proměnných. Dá nám informaci, která z hodnot se v souboru nachází nejčastěji a oproti průměru a mediánu je to jediná míra polohy, kterou lze použít i u nominálních dat.

Která míra polohy je nejlepší?

Výběr vhodné míry polohy závisí na typu proměnné a na tvaru rozdělení. Není tedy jedna správná volba. V případě, že hodnoty v souboru mají normální rozdělení, tak platí, že průměr, medián a modus jsou si rovny. Tuto skutečnost lze vidět na následujícím grafu:

V případě, že data budou zešikmená, či budou obsahovat odlehlé hodnoty. Je zpravidla vhodnější použít medián, namísto průměru.

Průměr se počítá ze všech hodnot v souboru, což znamená, že odlehlé hodnoty mohou průměr zkreslit a tím se výrazně sníží jeho výpovědní hodnota. Lze tedy říct, že průměr je citlivý na odlehlá pozorování. Zatímco medián je robustní vůči odlehlým hodnotám (nemají na něj vliv).

Na závěr se podívejme na nejčastější dotazy: